Question

在△ABC中，角A的對(duì)邊長(zhǎng)等于2，向量

m

=(2，  2cos2

B+C

2

-1)，向量

n

=(sin

A

2

，  -1)．
（1）求

m

•

n

取得最大值時(shí)的角A的大小；
（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

（1）

m

•

n

=2sin

A

2

-(2cos2

B+C

2

-1)=2sin

A

2

-cos(B+C)．
因?yàn)锳+B+C=π，所以B+C=π-A，
于是

m

•

n

=2sin

A

2

+cosA=-2sin2

A

2

+2sin

A

2

+1=-2(sin

A

2

-

1

2

)2+

3

2

．
因?yàn)?span mathtag="math" >

A

2

∈(0，  

π

2

)，所以當(dāng)且僅當(dāng)sin

A

2

=

1

2

，即A=

π

3

時(shí)，

m

•

n

取得最大值

3

2

．
故

m

•

n

取得最大值時(shí)的角A=

π

3

；

（2）設(shè)角、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c由余弦定理，得b²+c²-a²=2bccosA
即bc+4=b²+c²≥2bc，所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號(hào)．
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時(shí)，△ABC的面積最大為

3

．