分析:(I)若
sinA=cosB,利用兩角差的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得tanB=
,B=
,又 C=
,故三角形為正三角形,
可得p=2.
(II)解法一:由
=p,C=,利用余弦定理可得ab=
c2(p
2-1).故a、b是方程
x
2-cpx+
c2(p
2-1)=0的兩個(gè)根,可得△≥0,由此解得實(shí)數(shù)p的取值范圍.
解法二:由 p=
利用正弦定理可得 p=
,化簡(jiǎn)為 2sin(A+
),再由0<A<
,可得
<sin(A+
)≤1,由此求得實(shí)數(shù)p的取值范圍.
解答:解:(I)若
sinA=cosB,C=
,則有sin(
-B)=
cosB,
利用兩角差的正弦公式展開(kāi)化簡(jiǎn)可得
sinB=
cosB,
∴tanB=
,B=
,又 C=
,故三角形為正三角形,故p=2.
(II)解法一:∵
=p,C=,由余弦定理可得 c
2=a
2+b
2-ab=(a+b)
2-3ab,∴ab=
c
2(p
2-1).
故ab是方程 x
2-cpx+
c
2(p
2-1)=0的兩個(gè)根,∴△=(cp)
2-4•
c2(p
2-1)≥0,解得 p
2≤4.
再由 p=
>
=1,故實(shí)數(shù)p的取值范圍是(1,2].
解法二:由 p=
利用正弦定理可得 p=
=
[sinA+sin(
-A)]
=
(
sinA+
cosA)=2(
sinA+
cosA)=2sin(A+
).
由于 0<A<
,∴
<sin(A+
)≤1,∴1<p≤2,即實(shí)數(shù)p的取值范圍是(1,2].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,屬于中檔題.