【題目】如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于AB的點,直線PC⊥平面ABC,E,F分別是PA,PC的中點.

1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明;

2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足.記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQEF所成的角為α,二面角E﹣l﹣C的大小為β.求證:sinθ=sinαsinβ

【答案】1l∥平面PAC,見解析 (2)見解析

【解析】

1)直線l∥平面PAC,證明如下:

連接EF,因為E,F分別是PA,PC的中點,所以EF∥AC,

EF平面ABC,且AC平面ABC,所以EF∥平面ABC

EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l

因為l平面PAC,EF平面PAC,所以直線l∥平面PAC

2)(綜合法)如圖1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且l∥AC

因為AB⊙O的直徑,所以AC⊥BC,于是l⊥BC

已知PC⊥平面ABC,而l平面ABC,所以PC⊥l

PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC

連接BEBF,因為BF平面PBC,所以l⊥BF

∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角,即∠CBF=β

,作DQ∥CP,且

連接PQ,DF,因為FCP的中點,CP=2PF,所以DQ=PF

從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQ∥FD

連接CD,因為PC⊥平面ABC,所以CDFD在平面ABC內(nèi)的射影,

∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即∠CDF=θ

BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF=α,

于是在Rt△DCFRt△FBDRt△BCF中,分別可得,

從而

2)(向量法)如圖2,由,作DQ∥CP,且

連接PQ,EFBE,BFBD,由(1)可知交線l即為直線BD

以點C為原點,向量所在直線分別為xy,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)CA=a,CB=b,CP=2c,則有

于是

=,從而

又取平面ABC的一個法向量為,可得

設(shè)平面BEF的一個法向量為,

所以由可得

于是,從而

,即sinθ=sinαsinβ

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(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為的芒果中隨機抽取個,再從這個中隨機抽取個,求這個芒果中恰有個在內(nèi)的概率.

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需求量/個

天數(shù)

15

25

30

20

10

(1)當(dāng)時,若時獲得的利潤為,時獲得的利潤為,試比較的大。

(2)當(dāng)時,根據(jù)上表,從利潤不少于570元的天數(shù)中,按需求量分層抽樣抽取6天.

(i)求此時利潤關(guān)于市場需求量的函數(shù)解析式,并求這6天中利潤為650元的天數(shù);

(ii)再從這6天中抽取3天做進一步分析,設(shè)這3天中利潤為650元的天數(shù)為,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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