設是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。
(1)設函數(shù),其中為實數(shù)。
(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設為實數(shù),
,,且,
若||<||,求的取值范圍。
本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導數(shù)等基礎知識,考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。
(1)(i)
∵時,恒成立,
∴函數(shù)具有性質(zhì);
(ii)(方法一)設,與的符號相同。
當時,,,故此時在區(qū)間上遞增;
當時,對于,有,所以此時在區(qū)間上遞增;
當時,圖像開口向上,對稱軸,而,
對于,總有,,故此時在區(qū)間上遞增;
(方法二)當時,對于,
所以,故此時在區(qū)間上遞增;
當時,圖像開口向上,對稱軸,方程的兩根為:,而
當時,,,故此時在區(qū)間 上遞減;同理得:在區(qū)間上遞增。
綜上所述,當時,在區(qū)間上遞增;
當時,在上遞減;在上遞增。
(2)(方法一)由題意,得:
又對任意的都有>0,
所以對任意的都有,在上遞增。
又。
當時,,且,
綜合以上討論,得:所求的取值范圍是(0,1)。
(方法二)由題設知,的導函數(shù),其中函數(shù)對于任意的都成立。所以,當時,,從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。
①當時,有,
,得,同理可得,所以由的單調(diào)性知、,
從而有||<||,符合題設。
②當時,,
,于是由及的單調(diào)性知,所以||≥||,與題設不符。
③當時,同理可得,進而得||≥||,與題設不符。
因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是(0,1)。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(03年北京卷理)(14分)
設是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件,
①
②對任意的、,都有
(Ⅰ)證明:對任意,都有
(Ⅱ)證明:對任意的都有
(Ⅲ)在區(qū)間上是否存在滿足題設條件的奇函數(shù)且使得
若存在請舉一例,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(03年北京卷文)(14分)
設是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件:
(i)
(ii)對任意的
(Ⅰ)證明:對任意的
(Ⅱ)判斷函數(shù)是否滿足題設條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù),且使得對任意的
若存在,請舉一例:若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(本小題滿分16分)
設是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。
(1)設函數(shù),其中為實數(shù)。
(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設為實數(shù),
,,且,
若||<||,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源:2010年高考試題(江蘇版)解析版 題型:解答題
設是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù),其中對任意的都有>0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。
(1)設函數(shù),其中為實數(shù)。
(i)求證:函數(shù)具有性質(zhì); (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設為實數(shù),
,,且,
若||<||,求的取值范圍。
數(shù)學Ⅱ(附加題)
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