【題目】已知點(diǎn),直線,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過(guò)的直線,使得直線被曲線截得的弦恰好被點(diǎn)所平分？

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，利用拋物線的定義，可得點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，從而可求拋物線方程為；（Ⅱ）假假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線m．設(shè)直線m與軌跡C交于A，B，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，利用點(diǎn)差法求直線的斜率，從而可得結(jié)論

試題解析：（1）因點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于它到直線l的距離，

所以點(diǎn)P的軌跡C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，

其方程為…………………4分

（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線.設(shè)直線與軌跡交于,

依題意,得.

∵在軌跡上,

∴有,將,得.

當(dāng)時(shí),弦的中點(diǎn)不是,不合題意,

∴,即直線的斜率,

注意到點(diǎn)在曲線的張口內(nèi)（或：經(jīng)檢驗(yàn),直線與軌跡相交）

∴存在滿足題設(shè)的直線

且直線的方程為：即.…………………12分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在如圖所示的圓臺(tái)中，是下底面圓的直徑，是上底面圓的直徑，是圓臺(tái)的一條母線．

（1）已知，分別為，的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）已知，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立；

（3）若正實(shí)數(shù)滿足，證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在中，平面平面，，.設(shè)分別為中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）試問(wèn)在線段上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)三點(diǎn)的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行?

若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．

(1) 求向量b＋c的模的最大值；

(2) 若α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為，直線過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)在x軸的上方，直線與分別交直線：于點(diǎn)、.

（1）若點(diǎn)，求橢圓的方程及△ABC的面積；

（2）若為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與的斜率分別為、.

①試問(wèn)是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②求△AEF的面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C1截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)事件A表示“關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根”，其中，為實(shí)常數(shù).

（Ⅰ）若為區(qū)間[0，5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間[0，2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；

（Ⅱ）若為區(qū)間[0，5]上的均勻隨機(jī)數(shù)，為區(qū)間[0，2]上的均勻隨機(jī)數(shù)，求事件A發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知關(guān)于的一次函數(shù).

（1）設(shè)集合和，分別從集合和中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為和，求函數(shù)是增函數(shù)的概率；

（2）實(shí)數(shù)滿足條件，求函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的概率.

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