Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)M（3，0）的直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，求以線段OA，OB 為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅲ）（理）設(shè)C（a，0），若四邊形CAGB為菱形（A、B意義同（Ⅱ）），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，利用橢圓定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓，且該橢圓以F₁、F₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4，再利用橢圓方程的求法求出．
（Ⅱ）用消參法來(lái)求即可，可先設(shè)過(guò)M（3，0）的直線l方程為y=k（x-3），于橢圓方程聯(lián)立，得到含A，B點(diǎn)坐標(biāo)的方程，再根據(jù)P是以線段OA，OB 為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y）滿足x=x₁+x₁，y=y1+y₂，消去參數(shù)，即可求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅲ）要想滿足四邊形CAGB為菱形，只需|CA=CB，即C點(diǎn)在線段AB中垂線上時(shí)，由（Ⅱ）得，x₁+x₁，y1+y₂用參數(shù)k表示，則線段線段AB中點(diǎn)D坐標(biāo)可用k表示，再帶參數(shù)求直線AB的垂直平分線方程，垂直平分線于x軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)，用k表示，再求范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線的方程可化為

x2

2

-y2=1，則|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

 
∴P點(diǎn)的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓         
由a=2，c=

3

， ∴b=1； 
∴所求軌跡方程為 

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），過(guò)M（3，0）的直線l方程為y=k（x-3）
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

  得 （1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△＞0，即k²＜

1

5

時(shí)，x₁+x₂=

24k2

1+4k2

  x₁x₂=

36k2-4

1+4k2

又設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），則

x=x1+x2=  24k2 1+4k2 y=y1+y2=k(xx+x2)-6k

消去參數(shù)k，得P點(diǎn)軌跡方程為x²+4y²-6x=0 
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，線段AB中點(diǎn)D坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即D（

12k2

1+4k2

，

-3k

1+4k2

）
過(guò)點(diǎn)D垂直于AB的直線方程為y-

-3k

1+4k2

=-

1

k

（x-

12k2

1+4k2

）
令y=0，得 x=

9k2

1+4k2

依題意，當(dāng)CA=CB，即C點(diǎn)在線段AB中垂線上時(shí)，四邊形CAGB為菱形，
∴a=

9k2

1+4k2

  （k²＜

1

5

）
∴a的取值范圍為（0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓定義，消參法求軌跡方程一擊直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，計(jì)算量較大，做題時(shí)應(yīng)用心．