【題目】如圖,長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1B1 , D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.
(I)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);
(II)求直線AF與平面α所成角的正弦值.
【答案】解:(I)交線圍成的正方形EFGH如圖:(II)作EM⊥AB,垂足為M,則:
EH=EF=BC=10,EM=AA1=8;
∴ ,∴AH=10;
以邊DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則:A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(xiàn)(0,4,8);
∴ ;
設(shè) 為平面EFGH的法向量,則:
,取z=3,則 ;
若設(shè)直線AF和平面EFGH所成的角為θ,則:
sinθ= = ;
∴直線AF與平面α所成角的正弦值為
【解析】(I)容易知道所圍成正方形的邊長(zhǎng)為10,再結(jié)合長(zhǎng)方體各邊的長(zhǎng)度,即可找出正方形的位置,從而畫出這個(gè)正方形;(II)分別以直線DA,DC,DD1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,考慮用空間向量解決本問,能夠確定A,H,E,F(xiàn)幾點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)平面EFGH的法向量為 ,根據(jù) 即可求出法向量 , 坐標(biāo)可以求出,可設(shè)直線AF與平面EFGH所成角為θ,由sinθ= 即可求得直線AF與平面α所成角的正弦值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí),掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)已知數(shù)列(, )滿足, 其中, .
(1)當(dāng)時(shí),求關(guān)于的表達(dá)式,并求的取值范圍;
(2)設(shè)集合.
①若, ,求證: ;
②是否存在實(shí)數(shù), ,使, , 都屬于?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù), ;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知數(shù)列中.
(1)是否存在實(shí)數(shù),使數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和,求滿足的所有正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,D,E分別是BC,AB的中點(diǎn),PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,AC>AD,PC與DE所成的角為α,PD與平面ABC所成的角為β,二面角P﹣BC﹣A的平面角為γ,則α,β,γ的大小關(guān)系是( )
A.α<β<γ
B.α<γ<β
C.β<α<γ
D.γ<β<α
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知: 、 、 是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中 =(1,2)
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐標(biāo);
(2)若| |= ,且 +2 與2 ﹣ 垂直,求 與 的夾角θ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x0 , x0+ 是函數(shù)f(x)=cos2(wx﹣ )﹣sin2wx(ω>0)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)
(1)求 的值;
(2)若對(duì) ,都有|f(x)﹣m|≤1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐P﹣ABC中,D為AB的中點(diǎn).
(1)與BC平行的平面PDE交AC于點(diǎn)E,判斷點(diǎn)E在AC上的位置并說明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD為銳角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求證:AB⊥PC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C是橢圓M:上的三點(diǎn),其中點(diǎn)A是橢圓的右頂點(diǎn),BC過橢圓M的中心,且滿足AC⊥BC,BC=2AC。
(1)求橢圓的離心率;
(2)若y軸被△ABC的外接圓所截得弦長(zhǎng)為9,求橢圓方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市教育部門擬從18名高中數(shù)學(xué)教師中選拔2人參加省教師技能大賽.為縮短比賽時(shí)間,將這18名教師隨機(jī)分成, 兩組,其選拔賽成績(jī)的莖葉圖如圖所示.該教育部門先將成績(jī)不低于85分的教師初選出來進(jìn)行培訓(xùn)后,再?gòu)闹羞x拔2人參加省教師技能大賽.
(Ⅰ)若僅從初選選手中隨機(jī)抽選2人參加省賽,并記抽選的2人中來自組的人數(shù)為,試求的分布列和期望值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若參加省賽的2人是同性的概率等于,求初選出來參加培訓(xùn)的男教師和女教師的人數(shù).
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