Question

如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥面BOC，二面角B-AO-C是直二面角，OB=OC，∠OAB=

π

6

，斜邊AB=4，動點D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當(dāng)D為AB的中點時，求：異面直線AO與CD所成角大小．

Answer 1

分析：（1）欲證平面COD⊥平面AOB，先證直線與平面垂直，由題意可得：CO⊥AO，BO⊥AO，CO⊥BO，所以CO⊥平面AOB，進一步易得平面COD⊥平面AOB
（2）求異面直線所成的角，需要將兩條異面直線平移交于一點，由D為AB的中點，故平移時很容易應(yīng)聯(lián)想到中位線，作DE⊥OB，垂足為E，連接CE，則DE∥AO，所以∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．

解答：解：（I）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角，
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB．（4分）
（II）作DE⊥OB，垂足為E，連接CE（如圖），則DE∥AO，
∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角．
在 Rt△COE中，CO=BO=

1

2

AB=2，OE=

1

2

BO=1，
∴CE=

CO 2+OE 2

=

5

，
又DE=

1

2

AO=

3

．
∴CD=

CE 2+DE 2

=2

2

∴在Rt△CDE中，cos∠CDE=

DE

CD

=

3

2 2

=

6

4

．
∴異面直線AO與CD所成角的余弦值大小為

6

4

．（9分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、異面直線所成的角的度量、線面角的度量等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力