Question

已知函數f(x)＝x³－ax²－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍；
(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調區(qū)間．

Answer 1

（1）a≤0
（2）f(x)的單調遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，f(x)的單調遞減區(qū)間為.

解：(1)對f(x)求導，
得f′(x)＝3x²－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤.
記t(x)＝，當x≥1時，t(x)是增函數，
∴t(x)_min＝ (1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由題意，得f′(3)＝0，
即27－6a－3＝0，
∴a＝4.∴f(x)＝x³－4x²－3x，
f′(x)＝3x²－8x－3.
令f′(x)＝0，得x₁＝－，x₂＝3.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

x		－		3	(3，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

 
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為，[3，＋∞)，f(x)的單調遞減區(qū)間為.