斜三棱柱OAB-CA1B1,其中向量
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
.
c
,三個(gè)向量之間的夾角均為
π
3
,點(diǎn)M,N分別在CA1,BA1上且
CM
=
1
2
MA1
,
BN
=
NA1
,|
OA
|=2,|
OB
|=2,
|OC|
=4,如圖
(1)把向量
AM
用向量
a
,
c
表示出來,并求|
AM
|

(2)把向量
ON
a
,
b
c
表示;
(3)求AM與ON所成角的余弦值.
分析:(1)先用
a
、
c
表示
OM
,
AM
,利用
AM
=
OM
-
OA
表示出
AM
,根據(jù)向量的模計(jì)算公式計(jì)算求得|
AM
|.
(2)由
BN
=
NA1
得N為BA1的中點(diǎn),利用
ON
=
1
2
OB
+
OA1
)表示出
ON

(3)利用模計(jì)算公式求出|
ON
|,利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出
AM
ON
,根據(jù)cos<
AM
ON
>=
AM
ON
|
AM
||
ON
|
求異面直線所成角的余弦值.
解答:解:(1)如圖:
OM
=
OC
+
CM
=
c
+
1
3
a
,
AM
=
OM
-
OA
=
c
+
1
3
a
-
a
=
c
-
2
3
a

∵∠AOC=
π
3
,∴|
AM
|
=
c
2
+
4
9
a
2
-2×
2
3
a
c
=
16+
16
9
-
4
3
×2×4×
1
2
=
4
7
3

(2)∵
OA1
=
OA
+
OC
=
c
+
a
,
OB
=
b

BN
=
NA1
,N為BA1的中點(diǎn),
ON
=
1
2
OB
+
OA1
)=
1
2
a
+
b
+
c
);
(3)三個(gè)向量之間的夾角均是
π
3
,|
ON
|=
1
2
×
4+4+16+2×2×2×
1
2
+2×2×4×
1
2
+2×4×2×
1
2
=
1
2
×
44
=
11
,
AM
ON
=(-
2
3
a
+
c
)•
1
2
(
a
+
b
+
c
)
=-
1
3
×(4+2×2×
1
2
+2×
1
2
)+
1
2
×(2×4×
1
2
+2×4×
1
2
+4×4)=
26
3
,
COS<
AM
,
ON
=
AM
ON
|
AM
|•
|ON|
=
26
3
4
7
3
×
11
=
13
77
154

故異面直線AM與ON所成的角的余弦值為
13
77
154
點(diǎn)評(píng):本題考查了用向量運(yùn)算求異面直線所成的角,考查了向量的加、減、數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量的模運(yùn)算公式,運(yùn)算量大,計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心.
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精英家教網(wǎng)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直,BB1=BC,∠B1BC=60°,AB=AC,M是B1C1的中點(diǎn),
(1)求證:AB1∥平面A1CM;
(2)若AB1與平面BB1C1C所成的角為450,求二面角B-AC-B1的余弦值.

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如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1  中,側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC,側(cè)棱AA1與底面ABC成600的角,AA1=2.底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,其重心為G點(diǎn).E是線段BC1上一點(diǎn),且BE=
13
BC1
(1)求證:GE∥側(cè)面AA1B1B;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大。

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13
BC1
(1)求證:GE∥側(cè)面AA1BB;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值.

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