已知向量
m
=(sinωx,cosωx),
n
=(cosωx,cosωx)(ω>0)
,設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
且f(x)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)先將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,然后將圖象向下平移
1
2
個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間上[0,
4
]
上的取值范圍.
分析:(1)由數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)的公式可得f(x)=
2
2
sin(2ωx+
π
4
)+
1
2
,由周期可得ω=1,可得f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
,把2x+
π
4
整體放在正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,解不等式可得;(2)由圖象變換的知識(shí)可得g(x)=
2
2
sin(x+
π
4
),由x的取值范圍結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算可得答案.
解答:解:(1)由題意可得f(x)=
m
n
=sinωxcosωx+cos2ωx
=
1
2
sin2ωx+
1+cos2ωx
2
=
2
2
sin(2ωx+
π
4
)+
1
2
,
∵函數(shù)的周期T=π=
,∴ω=1,
故f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
,
由-
π
2
+2kπ
≤2x+
π
4
π
2
+2kπ
,k∈Z
解得-
8
+kπ
≤x≤
π
8
+kπ
,k∈Z
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-
8
+kπ,
π
8
+kπ],k∈Z
…(6分)
(2)由題意可得f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)+
1
2
圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,
得函數(shù)y=
2
2
sin(x+
π
4
)+
1
2
的圖象,再向下g(x)=
2
2
sin(x+
π
4
)的圖象,
故y=g(x)=
2
2
sin(x+
π
4
)…(9分)
x∈[0,
4
]
,∴x+
π
4
∈[
π
4
.π]
,∴sin(x+
π
4
)∈[0,1]
…(11分)
2
2
sin(x+
π
4
)∈[0,
2
2
]
,即g(x)的取值范圍為[0,
2
2
]
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,以及正弦函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象的變換,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(sinθ,2cosθ),
n
=(
3
,-
1
2
)
,若
m
n
,則sin2θ的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(sinθ,2cosθ),
n
=(
3
,-
1
2
)
,當(dāng)θ∈[0,π]時(shí),函數(shù)f(θ)=
m
n
的值域是
[-1,2]
[-1,2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•上海二模)已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
),sinx)
,
n
=(1,sinx),f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若f(
B
2
)=
2
+1
2
,b=
5
,c=
3
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知向量
m
=(sin 
A
2
,cos 
A
2
)
,
n
=(cos 
A
2
,-cos 
A
2
)
,且2
m
n
+|
m
|=
2
2
AB
AC
=1

(1)求角A的大小
(2)求△ABC的面積.

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