Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，，AA′=1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）求三棱錐A′-MNC的體積．
（椎體體積公式V=Sh，其中S為地面面積，h為高）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證法一，連接AB′，AC′，通過證明MN∥AC′證明MN∥平面A′ACC′．
證法二，通過證出MP∥AA′，PN∥A′C′．證出MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，即能證明平面MPN∥平面A′ACC′后證明MN∥平面A′ACC′．
（Ⅱ）解法一，連接BN，則V _A′-MNC=V _N-A′MC=V _N-A′BC=V _A′-NBC=．
解法二，V _A′-MNC=V _A′-NBC-V _M-NBC=V _A′-NBC=．
解答：（Ⅰ）（證法一）
連接AB′，AC′，由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，

所以M為AB′的中點(diǎn)，又因?yàn)镹為B′C′中點(diǎn)，所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′；
（證法二）
取A′B′中點(diǎn)，連接MP，NP．而M，N分別為AB′，B′C′中點(diǎn)，所以MP∥AA′，PN∥A′C′．所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′；又MP∩PN=P，
所以平面MPN∥平面A′ACC′，而MN?平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′；
（Ⅱ）（解法一）連接BN，由題意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，所以A′N⊥平面NBC，又A′N=B′C′=1，故
V _A′-MNC=V _N-A′MC=V _N-A′BC=V _A′-NBC=．
（解法二）
V _A′-MNC=V _A′-NBC-V _M-NBC=V _A′-NBC=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面關(guān)系，體積求解，考查空間想象能力、思維能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力．