一束光線從點F1(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點P反射后,恰好穿過點F2(1,0).
(Ⅰ)求點F1關于直線l的對稱點F1′的坐標;
(Ⅱ)求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓C的方程;
(Ⅲ)設直線l與橢圓C的兩條準線分別交于A、B兩點,點Q為線段AB上的動點,求點Q 到F2的距離與到橢圓C右準線的距離之比的最小值,并求取得最小值時點Q的坐標.
分析:(Ⅰ)設F
1‘的坐標為(m,n),則
=-且
2•-+3=0.由此能求出點F
1′的坐標.
(Ⅱ)由|PF
1′|=|PF
1|,得2a=|PF
1′|+|PF
2|=|F
1F
2|=
=2,由此能求出橢圓方程.
(Ⅲ)由
=2,知橢圓的準線方程為x=±2.設點Q的坐標為(t,2t+3)(-2<t<2),d
1表示點Q到F
2的距離,d
2表示點Q到橢圓的右準線的距離.則
==
,令
f(t)=,(-2<t<2),則
f′(t)=(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2) |
(t-2)4 |
=
,由此能求出
最小值和此時點Q的坐標.
解答:解:(Ⅰ)設F
1的坐標為(m,n),則
=-且
2•-+3=0.
解得
m=-,n=,因此,點F
1′的坐標為(-
,).
(Ⅱ)∵|PF
1′|=|PF
1|,根據(jù)橢圓定義,
得2a=|PF
1′|+|PF
2|=|F
1F
2|=
=2,
∴
a=,b==1.∴所求橢圓方程為
+y2=1.
(Ⅲ)∵
=2,∴橢圓的準線方程為x=±2.
設點Q的坐標為(t,2t+3)(-2<t<2),d
1表示點Q到F
2的距離,d
2表示點Q到橢圓的右準線的距離.
則
d1==,d
2=|t-2|.
==
,令
f(t)=,(-2<t<2),則
f′(t)=(2t+2)(t-2)2-(t2+2t+2)•2(t-2) |
(t-2)4 |
=
,
∵當
-2<t<-,f′(t)<0,
-<t<2,f′(t)>0,t=-
,f′(t)>0.
∴f(t)在t=-
時取得最小值.
因此,
最小值=
=,此時點Q的坐標為(-
,)(14分)
點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識,解題時要靈活運用橢圓性質(zhì),注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.