Question

【題目】在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．
（1）求角A；
（2）若BC=2，△ABC的面積是 ，求AB．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A+B+C=π，

∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，

∴2sinBcosA=sin（A+C）化為：2sinBcosA=sinB，

∵B∈（0，π），∴sinB＞0，

∴cosA= ，

∵A∈（0，π），

∴A= ；

（2）解：∵A= ，∴cosA= ，

又BC=2，S△ABC= ABACsin = ，即ABAC=4①，

∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA=AB2+AC2﹣ABAC，

∴AB2+AC2=BC2+ABAC=4+4=8，

∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2ABAC=8+8=16，即AB+AC=4②，

聯(lián)立①②解得：AB=AC=2，

則AB=2．

【解析】（1）由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根據(jù)sinB不為0，可得出cosA的值，再由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；（2）由A的度數(shù)求出cosA的值，再由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入求出ABAC的值，記作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosA，求出將cosA，BC及ABAC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根據(jù)ABAC的值，利用完全平方公式變形，開方求出AB+AC的值，記作②，聯(lián)立①②即可求出AB的長．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解余弦定理的定義(余弦定理:;;)．