Question

【題目】已知首項(xiàng)相等的兩個(gè)數(shù)列滿足.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）若，求的前n項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，數(shù)列是否存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？如果存在，請(qǐng)你求出所有符合題意的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

(1) 等式兩邊同時(shí)除以,化簡(jiǎn)即可得到,即證明出所求;

(2)由(1)可知,因?yàn)?/span>,則,利用錯(cuò)位相減即可求得的前n項(xiàng)和;

(3)由(2)的結(jié)論可知可知是遞增數(shù)列,假設(shè)數(shù)列存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列設(shè)為只需證明即可,但是化簡(jiǎn)后得,即為偶數(shù)(偶數(shù)+奇數(shù)),其結(jié)果不能為零,即可證得不存在.

（1）∵，∴，∴，

∴，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.

（2）由（1）知，∴，

①

②

①-②，得

所以，，

（3）不存在.因?yàn)?/span>，所以是遞增數(shù)列.

設(shè)正整數(shù)滿足，則，

而是偶數(shù)，

所以，是奇數(shù)，所以，，所以，.

即，中任意三個(gè)不同的項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列.