Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，且函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，對于下列命題：
①函數(shù)f（x）是以T=2為周期的函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④函數(shù)f（x）的最大值為f（2）；
⑤f（2011）=0．
其中正確結(jié)論的序號為（　　）

• A、①③⑤
• B、②③⑤
• C、②③④
• D、①④⑤

Answer 1

分析：由題意定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，說明該函數(shù)的周期為T=4，又有函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，說明函數(shù)f（x）應(yīng)該有對稱中心（1，0）

解答：解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，即：f（x+2）=-f（x）對于一切x都成立，式子中的x被x+2代替得到：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），有函數(shù)的周期的定義可以得到：函數(shù)f（x）的周期T=4，所以①錯；
  又∵函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向左平移一個單位以后關(guān)于（0，0）對稱，
∴平移之前的圖象應(yīng)該關(guān)于（1，0）對稱，故②正確；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x+1）=y為奇函數(shù)，
∴

f(x+2)=-f(x) f(-x+1)=-f(x+1)

?

f(x+3)=-f(x+1) f(-x+1)=-f(x+1)

?f（x+3）=f（-x+1）?函數(shù)f（x）有對稱軸x=2，所以③正確；
對于⑤由于f（1）=0，所以f（2011）=f（502×4+3）=f（3）=-f（1）=0，故⑤正確．
故選B

點評：此題考查了函數(shù)的周期定義及利用定義求函數(shù)的周期，還考查了函數(shù)的對稱及與圖象的平移變換，還考查了復(fù)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義式．