Question

已知拋物線C₁：y²=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C₁的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為，過拋物線C₁的焦點F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C₁于一點Q（點Q在x軸下方）．
（1）求點P和Q的坐標；
（2）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標軸的雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程，進而根據(jù)題意求得a和m，a和n的關(guān)系，進而根據(jù)橢圓方程與直線l聯(lián)立求得交點坐標．
（2）將Q點沿直線l向上移動到Q′點，使|QQ′|=4a，則可求出Q′點的坐標，設(shè)雙曲線方程，把P，Q′代入雙曲線方程，求得s和r，進而雙曲線方程可得．
解答：解：（1）由題意可知F（a，0），設(shè)橢圓方程為+=1（m＞n＞0）．
由=，m²-n²=a²，
解得m²=2a²，n²=a²，
∴橢圓方程為+=1，直線l：y=x-a．
可求出P（a，a）．
y=x-a，
可求出Q（（3-2）a，（2-2）a．
（2）將Q點沿直線l向上移動到Q′點，
使|QQ′|=4a，則可求出Q′點的坐標為（3a，2a）．
設(shè)雙曲線方程為-=1（s•r＞0）．
由于P、Q′在雙曲線上，則有-=1，-=1．
解得=，=．
∴雙曲線方程為x²-y²=1．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生對圓錐曲線基本知識的綜合掌握．