Question

（2012•安徽模擬）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PB=PC=CD=2AB=4，AC=2

7

，平面 BPC丄平面 ABCD
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求平面PAD與平面FBC所成二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，計算梯形ABCD的面積，即可求得四棱錐P-ABCD的體積；
（2）利用平面 BPC丄平面ABCD，證明OD⊥平面 BPC，延長CB與DA交于E，連接PE，過O作ON⊥PE，連DN，則∠DNO為所求二面角的平面角，故可求．

解答：解：（1）在直角梯形ABCD中，由AC=2

7

，CD=2AB=4，∠ADC=90°，可得AD=2

3

，BC=BD=4
∴△BPC為等邊三角形
取BC的中點O，連接PO，則PO⊥BC
∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC
∴PO⊥平面ABCD
∴四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

×SABCD×PO=

1

3

×

1

2

×(2+4)×2

3

×2

3

=12；
（2）連接OD，由（1）可得△BDC為等邊三角形，而O為BC的中點，∴OD⊥BC
∵平面 BPC丄平面ABCD，平面 BPC∩平面ABCD=BC，∴OD⊥平面 BPC
延長CB與DA交于E，連接PE，過O作ON⊥PE，連DN，則∠DNO為所求二面角的平面角
∵ON=

3

4

PC=3，OD=2

3

，∴tan∠DNO=

OD

ON

=

2 3

3

．

點評：本題考查四棱錐的體積，考查面面角，解題的關鍵是確定四棱錐的高，確定面面角．