Question

【題目】高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼�中�?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.

（Ⅰ）理論上，小球落入4號容器的概率是多少？

（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望是

【解析】

（Ⅰ）若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，根據(jù)二項(xiàng)分布公式可求得概率；（Ⅱ）落入4號容器的小球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，算出對應(yīng)事件概率，利用離散型隨機(jī)變量分布列數(shù)學(xué)期望的公式可求得結(jié)果.

解：（Ⅰ）記“小球落入4號容器”為事件，

若要小球落入4號容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，

∴理論上，小球落入4號容器的概率.

（Ⅱ）落入4號容器的小球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，

∴，，

，，

∴的分布列為：

	0	1	2	3

∴.