已知函數(shù)f(x)=x2-4,設曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點為(xn+1,0)(n∈N*),其中x1為正實數(shù).
(Ⅰ)用xn表示xn+1;
(Ⅱ)若x1=4,記an=lg
xn+2xn-2
,證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列,并求數(shù)列{xn}的通項公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,證明Tn<3.
分析:(Ⅰ)由題設條件知曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線方程是y-(xn2-4)=2xn(x-xn).
由此可知xn2+4=2xnxn+1.所以xn+1=
xn
2
+
2
xn


(Ⅱ)由xn+1=
xn
2
+
2
xn
,知xn+1+2=
xn
2
+
2
xn
+2=
(xn+2)2
2xn
,同理xn+1-2=
(xn-2)2
2xn

xn+1+2
xn+1-2
=(
xn+2
xn-2
)2
.由此入手能夠導出xn=
2(32n-1+1)
32n-1-1


(Ⅲ)由題設知xn=
2(32n-1+1)
32n-1-1
,所以
bn+1
bn
=
32n-1-1
32n-1
=
1
32n-1+1
1
32n-1
1
321-1
=
1
3
,由此可知Tn<3(n∈N*).
解答:解:(Ⅰ)由題可得f′(x)=2x.
所以曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線方程是:y-f(xn)=f′(xn)(x-xn).
即y-(xn2-4)=2xn(x-xn).
令y=0,得-(xn2-4)=2xn(xn+1-xn).
即xn2+4=2xnxn+1
顯然xn≠0,∴xn+1=
xn
2
+
2
xn


(Ⅱ)由xn+1=
xn
2
+
2
xn
,知xn+1+2=
xn
2
+
2
xn
+2=
(xn+2)2
2xn
,
同理xn+1-2=
(xn-2)2
2xn
,故
xn+1+2
xn+1-2
=(
xn+2
xn-2
)2

從而lg
xn+1+2
xn+1-2
=2lg
xn+2
xn-2
,即an+1=2an.所以,數(shù)列{an}成等比數(shù)列.
an=2n-1a1=2n-1lg
x1+2
x1-2
=2n-1lg3

lg
xn+2
xn-2
=2n-1lg3

從而
xn+2
xn-2
=32n-1

所以xn=
2(32n-1+1)
32n-1-1


(Ⅲ)由(Ⅱ)知xn=
2(32n-1+1)
32n-1-1
,
bn=xn-2=
4
32n-1-1
>0

bn+1
bn
=
32n-1-1
32n-1
=
1
32n-1+1
1
32n-1
1
321-1
=
1
3

當n=1時,顯然T1=b1=2<3.
當n>1時,bn
1
3
bn-1<(
1
3
)2bn-2<<(
1
3
)n-1b1

∴Tn=b1+b2+…+bnb1+
1
3
b1+…+(
1
3
)n-1b1
=
b1[1-(
1
3
)
n
]
1-
1
3
=3-3•(
1
3
)n<3

綜上,Tn<3(n∈N*).
點評:本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識,以及推理論證、計算及解決問題的能力.
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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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