設函數(shù)的定義域為，對任意的實數(shù)都有；當時，，且.（1）判斷并證明在上的單調(diào)性；
（2）若數(shù)列滿足：，且，證明：對任意的，

（1）單調(diào)遞增（2），再利用.

解析試題分析：（1）在上單調(diào)遞增，證明如下： 設任意，且，∵，∴，∴
即，∴在上單調(diào)遞增.  
（2）在中，令，得.令，
得，∴.令，得，即

下面用數(shù)學歸納法證明：   
①當時，，不等式成立；
②假設當時，不等式成立，即，則∵在上單調(diào)遞增，
∴，∴，即當時不等式也成立.
綜上①②，由數(shù)學歸納法原理可知對任意的，
考點：數(shù)學歸納法；抽象函數(shù)及其應用；數(shù)列與函數(shù)的綜合
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學歸納法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

經(jīng)市場調(diào)查：生產(chǎn)某產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入流動成本為萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，（萬元），在年產(chǎn)量不小于8萬件時，（萬元）. 通過市場分析，每件產(chǎn)品售價為5元時，生產(chǎn)的商品能當年全部售完.
（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；
（注：年利潤=年銷售收入固定成本流動成本）
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時,在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)有兩個零點和，且最小值是，函數(shù)與的圖象關于原點對稱；
（1）求和的解析式；
（2）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（Ⅰ）設是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足，且對任意實數(shù)a，b有求；
（Ⅱ）設函數(shù)滿足求

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某售報亭每天以每份0.4元的價格從報社購進若干份報紙，然后以每份1元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的報紙以每份0.1元的價格賣給廢品收購站.
（Ⅰ）若售報亭一天購進270份報紙，求當天的利潤(單位：元)關于當天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式.
（Ⅱ）售報亭記錄了100天報紙的日需求量（單位：份），整理得下表：

日需求量
240
250
260
270
280
290
300
 頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
以100天記錄的需求量的頻率作為各銷售量發(fā)生的概率.
（1）若售報亭一天購進270份報紙，表示當天的利潤（單位：元），求的數(shù)學期望；
（2）若售報亭計劃每天應購進270份或280份報紙，你認為購進270份報紙好，還是購進280份報紙好? 說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù) 且關于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.⑴求的解析式.⑵若總有成立，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
已知函數(shù)，若對一切恒成立．求實數(shù) 的取值范圍．(16分)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對于0<x<y，都有，
（1）求；
（2）解不等式

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分15分）
如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數(shù)）的圖象，且點M到邊OA距離為．

（1）當時，求直路所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？

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同步練習冊答案