Question

(本題18分)在R⁺上的遞減函數f(x)同時滿足：(1)當且僅當xÎM  R⁺時，函數值f(x)的集合為[0, 2]；(2)f()=1；(3)對M中的任意x₁、x₂都有f(x₁•x₂)= f(x₁)+ f(x₂)；(4)y=f(x)在M上的反函數為y=f^–1(x)．

(1)求證：ÎM，但ÏM；

(2)求證：f^–1(x₁)• f^–1(x₂)= f^–1(x₁+x₂)；

(3)解不等式：f^–1(x²–x)• f^–1(x–1)≤．

Answer 1

(1)證明：因為ÎM，又=´，f()=1，

所以f()=f(´)=f()+f()=2Î[0, 2]，所以ÎM，……………………………3分

又因為f()=f(´)=f()+f()=3Ï[0, 2]，所以ÏM；…………………………5分

(2)因為y=f(x)在M上遞減，所以y=f(x)在M有反函數y=f ^–1(x)，xÎ[0, 2]

任取x₁、x₂Î[0, 2]，設y₁=f ^–1(x₁)，y₂=f ^–1(x₂)，

所以x₁=f(y₁)，x₂=f(y₂)  (y₁、y₂ÎM)

因為x₁+x₂=f(y₁)+f(y₂)=f(y₁y₂)，……………………………………………………………7分

所以y₁y₂=f ^–1(x₁+x₂)，又y₁y₂= f ^–1(x₁)f ^–1(x₂)，

所以：f ^–1(x₁)• f ^–1(x₂)= f ^–1(x₁+x₂)；……………………………………………………10分

(3)因為y=f(x)在M上遞減，所以f ^–1(x)在[0, 2]上也遞減，

f^–1(x²–x)• f^–1(x–1)≤等價于：f ^–1(x²–x+x–1)≤f ^–1(1)…………………………………11分

…………………………………………………………………………14分

即：…………………………………………………………17分

所以≤x≤2…………………………………………………………………………18分