已知，其中是自然常數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí), 研究的單調(diào)性與極值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證： ；

 

【答案】

（Ⅰ）的極小值為；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314201994905803/SYS201301131421152615230357_DA.files/image004.png">，，那么求解導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到單調(diào)性的求解。

（2） 的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，，構(gòu)造函數(shù)令，確定出最大值。比較大小得到。

解：（Ⅰ），   ……2分

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增   …………4分 

∴的極小值為                         ……6分

（Ⅱ）的極小值為1，即在上的最小值為1，

∴ ，……5分

令，，  …………8分

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增  ………9分

∴     ………11分

∴在（1）的條件下，……………………………12分

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)單調(diào)性，和導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)的左右符號(hào)的正負(fù)，進(jìn)而得到函數(shù)極值，進(jìn)而求解最值。

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分14分）

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求證：在（1）的條件下，；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆廣東省高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文試卷（解析版） 題型：解答題

已知，其中是自然常數(shù)，

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省高三年級(jí)暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分16分)

已知，其中是自然常數(shù)，

 (1)討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；

 (2)求證：在（1）的條件下，；

 (3)是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆四川省高二下學(xué)期期中（文理）數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（理） 已知，其中是自然常數(shù)，[

（1）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；

（2）求證：在（Ⅰ）的條件下，;

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

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