已知函數(shù)f(x)=x2+alnx.
(Ⅰ)當(dāng)a=-2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+
2
x
在[1,+∞)上是增函數(shù),不等式2x-
2
x2
+
a
x
≥0
在[1,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)先求出函數(shù)的定義域,把a代入到函數(shù)中并求出f′(x)=0時x的值,在定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(Ⅱ)把f(x)代入到g(x)中得到g(x)的解析式,求出其導(dǎo)函數(shù)大于0即函數(shù)單調(diào),可設(shè)φ(x)=
2
x
-2x2,求出其導(dǎo)函數(shù)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,求出φ(x)的最大值,列出不等數(shù)求出解集即為a的取值范圍.
解答:解:(I)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)
當(dāng)a=-2時,f′(x)=2x-
2
x
=
2(x+1)(x-1)
x

當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下:
精英家教網(wǎng)
由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1);
單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+∞).
極小值是f(1)=1;

(Ⅱ)由g(x)=x2+alnx+
2
x
,得g′(x)=2x+
a
x
-
2
x2

又函數(shù)g(x)=x2+alnx+
2
x
為[1,+∞)
上單調(diào)增函數(shù),
則g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即不等式2x-
2
x2
+
a
x
≥0在[1,+∞)
上恒成立
也即a≥
2
x
-2x2
在[1,+∞)上恒成立
?(x)=
2
x
-2x2
在[1,+∞)為減函數(shù),
所以φ(x)max=φ(1)=0.
所以a≥0.a(chǎn)的取值范圍為[0,+∞).
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.以及理解函數(shù)恒成立所取的條件.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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