Question

【題目】某同學用“五點法”畫函數在某一周期內的圖像時，列表并填入的部分數據如下表：

	0
	0	1	0		0
	0		0		0

(1)請寫出上表的及函數的解析式；

(2)將函數的圖像向右平移個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，求的解析式及的單調遞增區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，若在上恰有奇數個零點，求實數與零點個數的值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）.

【解析】

（1）根據表中數據可得關于的方程組，解出的值后可得的值，再由表中數據可得，從而可得函數的解析式.

（2）先求出的解析式，再求出的定義域，結合三角函數的單調性可得復合函數的單調增區(qū)間.

（3）令，設方程的根為，分①；②；③三種情況討論在及上零點個數，再根據周期性得到的零點個數，結合題設條件可得的值及相應的零點個數.

（1）根據表中的數據可得 ，解得，

故，所以，又，故.

所以.

（2）將函數的圖像向右平移個單位，所得圖像的解析式為：

，

再將所得圖像上各點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，得到函數的圖像，

故.

此時，

令，則，故.

當時，為增函數，

故為減函數；

當時，為減函數；

故為增函數.

所以的增區(qū)間為.

(3)，的周期為，

當時，令，考慮方程的根情況，

因，故在必有兩個不同的實數根，

因為在有奇數個零點，故或.

若，則方程、在共有4個不同的實數根，

在有0個實數根或2個實數根，

故在有個根或個根，

與有奇數個零點矛盾，舍去.

若，則在共有2個不同的實數根，在有0個實數根或2個實數根，

故在有

個根或，

與有奇數個零點矛盾，舍去.

同理也不成立，所以或，

若，則，，

方程、在共有3個不同的實數根，而在上，有兩個不同的根，無解，

所以在有個根，符合要求；

若，則，，

方程、在共有3個不同的實數根，而在上，無解，有一個根，

所以故在有個根，與題設矛盾，舍去.

綜上，，在共有個不同的零點.