【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）已知，證明：當(dāng)時(shí)，.

【答案】（1）當(dāng)或時(shí)，個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，個(gè)零點(diǎn).（2）見解析

【解析】分析：（1）先換元，令得到，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再對(duì)a分類討論求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). (2)先轉(zhuǎn)化成只需證.再轉(zhuǎn)化成左邊函數(shù)的最大值，小于右邊函數(shù)的最小值.

詳解：（1）.令.

令，則函數(shù)與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況一致. .

1）時(shí)，在上單調(diào)遞增.

又個(gè)零點(diǎn).

2）時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

.

①即時(shí)，，無零點(diǎn).

②即時(shí)，個(gè)零點(diǎn).

③即時(shí)，，又.

又，

，

令，

在上單調(diào)遞增，兩個(gè)零點(diǎn).

綜上：當(dāng)或時(shí)，個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，個(gè)零點(diǎn).

（2）要證，只需證.

令，只需證：.

令，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且.

令 在上單調(diào)遞增，

，

故.

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（2）寫出月利潤(rùn)（元）與每件的銷售價(jià)格（元）的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當(dāng)該消費(fèi)品每件的銷售價(jià)格為多少元時(shí)，月利潤(rùn)最大？并求出最大月利潤(rùn)．

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