(本題滿分16分)
對于數(shù)列
,如果存在一個正整數(shù)
,使得對任意的
(
)都有
成立,那么就把這樣一類數(shù)列
稱作周期為
的周期數(shù)列,
的最小值稱作數(shù)列
的最小正周期,以下簡稱周期.例如當(dāng)
時
是周期為
的周期數(shù)列,當(dāng)
時
是周期為
的周期數(shù)列.
(1)設(shè)數(shù)列
滿足
(
),
(
不同時為0),求證:數(shù)列
是周期為
的周期數(shù)列,并求數(shù)列
的前2012項的和
;
(2)設(shè)數(shù)列
的前
項和為
,且
.
①若
,試判斷數(shù)列
是否為周期數(shù)列,并說明理由;
②若
,試判斷數(shù)列
是否為周期數(shù)列,并說明理由;
(3)設(shè)數(shù)列
滿足
(
),
,
,數(shù)列
的前
項和為
,試問是否存在實數(shù)
,使對任意的
都有
成立,若存在,求出
的取值范圍
;不存在,說明理由.
(1)證明:
又
,
所以
是周期為6的周期數(shù)列,………………2分
.
所以
.………4分
解:(2)當(dāng)
時,
,又
得
.………6分
當(dāng)
時,
,
即
或
.…………6分
①由
有
,則
為等差數(shù)列,即
,
由于對任意的
都有
,所以
不是周期數(shù)列.…………8分
②由
有
,數(shù)列
為等比數(shù)列,即
,
存在
使得
對任意
都
成立,
即當(dāng)
時
是周期為2的周期數(shù)列.…………10分
(3)假設(shè)存在
,滿足題設(shè).
于是
又
即
,
所以
是周期為6的周期數(shù)列,
的前6項分別為
,…12分
則
(
),……14分
當(dāng)
時,
,
當(dāng)
時,
,
當(dāng)
時,
,
當(dāng)
時,
,
所以
,為使
恒成立,只要
,
即可,
綜上,假設(shè)存在
,滿足題設(shè),
,
.……16分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
(x≠0)各項均為正數(shù)的數(shù)列{a
n}中a
1=1,
,
。(1)求數(shù)列{a
n}的通項公式;(2)在數(shù)列{b
n}中,對任意的正整數(shù)n,b
n·
都成立,設(shè)S
n為數(shù)列{b
n}的前n項和試比較S
n與
的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
數(shù)列
上,
(1)求數(shù)列
的通項公式;
(2)若
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知數(shù)列{a
n}滿足a
n+1=
(Ⅰ)若方程f(x)=x的解稱為函數(shù)y=f(x)的不動點,求a
n+1=f(a
n)的不動點的值;
(Ⅱ)若a
1=2,b
n=
,求證:數(shù)列{lnb
n}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{b
n}的通項.
(Ⅲ)當(dāng)任意nÎN*時,求證:b
1+b
2+b
3+…+b
n<
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分16分)已知數(shù)列
中,
,
為實常數(shù)),前
項和
恒為正值,且當(dāng)
時,
.
⑴求證:數(shù)列
是等比數(shù)列;
⑵設(shè)
與
的等差中項為
,比較
與
的大。
⑶設(shè)
是給定的正整數(shù),
.現(xiàn)按如下方法構(gòu)造項數(shù)為
有窮數(shù)列
:
當(dāng)
時,
;
當(dāng)
時,
.
求數(shù)列
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
在等差數(shù)列
中,
,則數(shù)列
前11項的和
S11等于
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
數(shù)列
的首項為
為等差數(shù)列且
,若
,則
( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
等差數(shù)列{an}中,a4+ a10+ a16=30,則a18-2a14的值為
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知等差數(shù)列
的公差為
,若
,則第12項是 ( )
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