19、為贏得2010年廣州亞運(yùn)會(huì)的商機(jī),某商家最近進(jìn)行了新科技產(chǎn)品的市場(chǎng)分析,調(diào)查顯示,新產(chǎn)品每件成本9萬元,售價(jià)為30萬元,每星期賣出432件,如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值0≤x≤30(單位:萬元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2萬元時(shí),一星期多賣出24件.
(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成f(x)的函數(shù);
(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大?
分析:(1)一個(gè)星期的商品銷售利潤=(每件商品售價(jià)-降低價(jià)-成本價(jià))×賣出數(shù)量,依此建立函數(shù)關(guān)系式;
(2)由(1)知,f(x)是一元三次函數(shù),求它在閉區(qū)間上的最值,要用求導(dǎo)法.
解答:解:(1)設(shè)商品降價(jià)x萬元,則多賣的商品數(shù)為kx2,
若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x),
則依題意,有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2),
又,由已知條件:24=k•22,得 k=6,
所以,f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].
(2)根據(jù)(1),得 f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12)
作出以下表格:
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30]
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 極小 極大
所以,當(dāng)x=12時(shí),f(x)達(dá)到極大值.因?yàn)閒(0)=9072,f(12)=11264,
即定價(jià)為 30-12=18萬元時(shí),能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.
點(diǎn)評(píng):本題考查了由函數(shù)模型建立目標(biāo)函數(shù),利用求導(dǎo)法求三次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,是中檔題.
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