Question

已知離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)M(

6

，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓方程
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若直線l是圓O：x2+y2=

8

3

的一條切線，求證：∠AOB=

π

2

．

Answer 1

分析：（1）由離心率可得a²=2b²，故橢圓的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得b²的值，從而得到橢圓方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)可得三角形AOB為等腰直角三角形，∠AOB=

π

2

．當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，由切線的性質(zhì)可得3b²=8+8k² ①，把直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算OA和OB的斜率之積等于-1，從而得到∠AOB=

π

2

．

解答：解：（1）由題意可得

a2-b2

a2

=

1

2

，∴a²=2b²，故橢圓的方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得b²=4，a²=8，故橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 x=

2 6

3

，代入橢圓的方程可得A（

2 6

3

，-

2 6

3

 ），
B（

2 6

3

，

2 6

3

 ），顯然AOB為等腰直角三角形，∠AOB=

π

2

．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y=kx+b，由切線的性質(zhì)可得

8 3

=

|0-0+b|

k2+1

，3b²=8+8k² ①，
把直線l的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得 （1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0．
∴x₁+x₂=

-4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2- 8

1+2k2

，故OA 和OB的斜率之積等于

kx1+ b

x1

•

kx2+b

x2

=

k2x1x2+ kb(x1+x2)+b2

x1x2

=

b2-8k2

2b2-8

，又由①得  8k²=3b²-8，
故OA 和OB的斜率之積等于

b2-(3b2-8)

2b2-8

=-1，∴OA⊥OB，∴∠AOB=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，
證明OA 和OB的斜率之積等于-1，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．