已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和“偽二次函數(shù)”g(x)=ax2+bx+clnx(abc≠0).
(1)證明:只要a<0,無論b取何值,函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(2)在同一函數(shù)圖象上任意取不同兩點A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB中點為C(x0,y0),記直線AB的斜率為k,
①對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,求證:k=f′(x0);
②對于“偽二次函數(shù)”g(x)=ax2+bx+clnx,是否有①同樣的性質(zhì)?證明你的結論.
分析:(1)用導函數(shù)大于0在定義域內(nèi)恒成立,結合二次不等式恒成立知不可能,據(jù)導數(shù)大于0函數(shù)單增,得證.
(2)①據(jù)兩點斜率公式求k,再據(jù)中的坐標公式和導數(shù)公式得f′(x0),得證.
(2)②先假設有得到一個關于t的等式,構造函數(shù),研究函數(shù)單調(diào)性求最小值,得等式不成立,故假設不成立.
解答:解:(1)如果x>0,g(x)為增函數(shù),則
g′(x)=2ax+b+
=
>0(i)恒成立.
∴2ax
2+bx+c>0(ii)恒成立
∵a<0,由二次函數(shù)的性質(zhì),(ii)不可能恒成立
則函數(shù)g(x)不可能總為增函數(shù).
(2)①對于二次函數(shù):
k=
==2ax
0+b
由f′(x)=2ax+b故f′(x
0)=2ax
0+b
即k=f′(x
0)
(2)②
不妨設x
2>x
1,對于偽二次函數(shù)g(x)=ax
2+bx+clnx=f(x)+clnx-c,
k=
=如果有①的性質(zhì),則g′(x
0)=k
∴
=,c≠0即∴
=,
令
t=,t>1,則
=設s(t)=lnt-
,則
s′(t)=-=>0
∴s(t)在(1,+∞)上遞增,
∴s(t)>s(1)=0
∴g′(x
0)≠k∴“偽二次函數(shù)“g(x)=ax
2+bx+clnx不具有①的性質(zhì).
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、兩點斜率、不等式恒成立問題、構造函數(shù)等.