(2007•嘉定區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
|x+m-1|x-2
,m>0且f(1)=-1.
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,m-1]上的單調(diào)性,并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(3)求實(shí)數(shù)k的取值范圍,使得關(guān)于x的方程f(x)=kx分別為:
①有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解;
②有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;
③有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
分析:(1)將已知條件f(1)=-1,解得|m|=1,再結(jié)合m是正數(shù),可得m=1;
(2)將(1)的結(jié)論代入得(-∞,m-1]=(-∞,0]根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可設(shè)x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,通過作差化簡整理,最后得到f(x1)-f(x2)<0,說明函數(shù)在區(qū)間(-∞,m-1]上是個(gè)增函數(shù);
(3)首先,方程f(x)=kx有一個(gè)解x=0,然后分x>0和x<0加以討論:當(dāng)x>0且x≠2時(shí),方程轉(zhuǎn)化為
x
x-2
=kx
,得到x=2+
1
k
,解不等式得k<-
1
2
或k>0;當(dāng)x<0時(shí),則
-x
x-2
=kx
,解得x=2-
1
k
,解不等式得0<k<
1
2
.最后綜合可得方程f(x)=kx解集的情況.
解答:解:(1)由f(1)=-1,得
|m|
-1
=-1
,|m|=1,
∵m>0,∴m=1. (4分)
(2)由(1),m=1,從而f(x)=
|x|
x-2
,只需研究f(x)在(-∞,0]上的單調(diào)性.
當(dāng)x∈(-∞,0]時(shí),f(x)=
-x
x-2

設(shè)x1,x2∈(-∞,0],且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
-x1
x1-2
-
-x2
x2-2
=
2(x1-x2)
(x1-2)(x2-2)
,(6分)
∵x1<x2≤0,∴x1-x2<0,x1-2<0,x2-2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)遞增函數(shù). (10分)
(3)原方程即為
|x|
x-2
=kx
…①
x=0恒為方程①的一個(gè)解. (11分)
若x<0時(shí)方程①有解,則
-x
x-2
=kx
,解得x=2-
1
k

2-
1
k
<0
,得 0<k<
1
2
; (13分)
若x>0且x≠2時(shí)方程①有解,則
x
x-2
=kx
,解得x=2+
1
k
,
2+
1
k
>0
2+
1
k
≠2
,得k<-
1
2
或k>0. (15分)
綜上可得,當(dāng)k∈[-
1
2
,0]
時(shí),方程f(x)=kx有且僅有一個(gè)解;
當(dāng)k∈(-∞,-
1
2
)∪[
1
2
,+∞)
時(shí),方程f(x)=kx有兩個(gè)不同解;
當(dāng)k∈(0,
1
2
)
時(shí),方程f(x)=kx有三個(gè)不同解.   (18分)
點(diǎn)評:本題以含有絕對值的分式函數(shù)的形式為例,考查了函數(shù)零點(diǎn)的分布與單調(diào)性等知識點(diǎn),屬于難題.
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