【題目】如圖所示的幾何體是由以等邊三角形為底面的棱柱被平面所截而得，已知平面 為的中點, 面．

(1)求的長；

(2)求證：面面；

(3)求平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接,則為梯形的中位線， ，先證明四邊形為平行四邊形， ，可得；（2）由平面面，結(jié)合可得面，因為 ，所以面，從而得面面；(3) 以為原點， 所在直線分別為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）取的中點，連接,則為梯形的中位線，

又,所以

所以四點共面,因為面，且面面所以

所以四邊形為平行四邊形， 所以

（2）由題意可知平面面；又且平面

所以面，因為 所以面

又面， 所以面面；.

（3）以為原點， 所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)為的中點，則,易證： 平面

平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為，

由得 所以

所以，由所求二面角為銳二面角角，所以平面與平面相交所成銳角二面角的余弦值．

【方法點晴】本題主要考面面垂直的證明、線面平行的定斷與性質(zhì)以及利用空間向量求二面角，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù) ，求函數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ

0

π

2π

x

Asin（ωx+φ）

0

5

﹣5

0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；

（2）將y＝f（x）圖象上所有點向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y＝g（x）的圖象.若y＝g（x）圖象的一個對稱中心為（，0），求θ的最小值.

（3）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段后，畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

（1）求第四小組的頻率，補全頻率分布直方圖，并求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)和方差，（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；

（2）從被抽取的數(shù)學(xué)成績是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率；

（3）假設(shè)從全市參加高一年級期末考試的學(xué)生中，任意抽取個學(xué)生，設(shè)這四個學(xué)生中數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>分以上（包括分）的人數(shù)為（以該校學(xué)生的成績的頻率估計概率），求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，正確的命題是（ ）

A. BD與CF成60°角 B. BD與EF成60°角 C. AB與CD成60°角 D. AB與EF成60°角

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線，，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 把上所有的點向右平移個單位長度，再把所有圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線

B. 把上所有點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），得到曲線

C. 把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到曲線

D. 把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到曲線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在梯形中, 于, .將沿折起至,使得平面平面（如圖2）, 為線段上一點.

圖1 圖2

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）若為線段中點,求多面體與多面體的體積之比；

（Ⅲ）是否存在一點,使得平面?若存在,求的長.若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且其中.

（1）求和的表達(dá)式，并求函數(shù)的值域

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個不等實根，求常數(shù)的取值范圍

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同步練習(xí)冊答案