Question

（2012•安慶二模）已知直線l：x+y+8=0，圓O：x²+y²=36（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

2

，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點(diǎn)（3，0）作直線l，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)設(shè)

OS

=

OA

+

OB

（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在這樣的直線l，使四邊形為ASB的對(duì)角線長相等？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）計(jì)算圓心O到直線l：x+y+8=0的距離，可得直線l被圓O截得的弦長，利用直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等，可求a的值，利用橢圓的離心率為e=

3

2

，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）由

OS

=

OA

+

OB

，可得四邊形OASB是平行四邊形．假設(shè)存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線長相等，則四邊形OASB為矩形，因此有

OA

⊥

OB

，設(shè)直線方程代入橢圓方程，利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵圓心O到直線l：x+y+8=0的距離為d=

8

2

=4

2

，
∴直線l被圓O截得的弦長為2

R2-d2

=4，
∵直線l被圓O截得的弦長與橢圓的長軸長相等，
∴2a=4，∴a=2，
∵橢圓的離心率為e=

3

2

，
∴c=

3

∴b²=a²-c²=1
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1；                              …（4分）
（Ⅱ）∵

OS

=

OA

+

OB

，∴四邊形OASB是平行四邊形．
假設(shè)存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對(duì)角線長相等，則四邊形OASB為矩形，因此有

OA

⊥

OB

，
設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0．…（7分）
直線l的斜率顯然存在，設(shè)過點(diǎn)（3，0）的直線l方程為：y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，
由△=（-24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，可得-5k²+1＞0，即k2＜

1

5

．…（9分）
∴x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-3)(x2-3)=(1+k2)x1x2-3k2(x1+x2)+9k2=(1+k2)

36k2-4

1+4k2

-3k2

24k2

1+4k2

+9k2，
由x₁x₂+y₁y₂=0得：k2=

4

41

∴k=±

2 41

41

，滿足△＞0．…（12分）
故存在這樣的直線l，其方程為y=±

2 41

41

(x-3)．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，聯(lián)立方程，利用向量的數(shù)量積公式、韋達(dá)定理是關(guān)鍵．