已知函數(shù)f(x)=
ax
x2+b
,在x=1處取得極值2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式
(2)m滿足什么條件時,區(qū)間(m,2m+1)為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(3)若P(x0,y0)為f(x)=
ax
x2+b
圖象上任意一點(diǎn),直線/與.f(x)的圖象切于P點(diǎn),不妨設(shè)直線l的斜率為對于任意的x0∈R和對于任意的t∈[4,5],均有k≥c(t2-2t-3)恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
分析:(1)由函數(shù) f(x)=
ax
x2+b
在x=1處取得極值2可得f(x)=2,f′(1)=0求出a和b確定出f(x)即可;
(2)令f′(x)>0求出增區(qū)間得到m的不等式組求出解集即可;
(3)找出直線l的斜率k=f′(x0),利用換元法求出k的最小值和最大值即可得到c的范圍.
解答:解:(1)因 f/(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2
,
而函數(shù) f(x)=
ax
x2+b
在x=1處取得極值2,
所以
f/(1)=0
f(1)=2
?
a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
?
a=4
b=1

所以 f(x)=
4x
1+x2

(2)由(1)知 f/(x)=
4(x2+1)-8x2
(x2+1)2
=
-4(x-1)(x+1)
(1+x2)2
,如圖,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[-1,1]
所以,
m≥-1
2m+1≤1
m<2m+1
?-1<m≤0
所以當(dāng)m∈(-1,0]時,函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增.
x (-∞,-1) -1 (-1,1)  1 (1,+∞)
f′(x)  -  o +  0 -
 f(x)  極小值
-2
 極大值2 ↓ 
(3)由條件知,過f(x)的圖形上一點(diǎn)P的切線l的斜率k為:k=f/(x0)=
4(1-x02)
(1+x02)2
=4×
-1-x02+2
(1+x02)2
=4[
2
(1+x02)2
-
1
1+x02
]

t=
1
1+x02
,則t∈(0,1],此時,k=8(t2-
1
2
t)=8(t-
1
4
)2-
1
2

根據(jù)二次函數(shù) k=8(t-
1
4
)2-
1
2
的圖象性質(zhì)知:
當(dāng) t=
1
4
時,kmin=-
1
2
,當(dāng)t=1時,kmax=4
所以,直線l的斜率k的取值范圍是 [-
1
2
 , 4 ]

∵t∈[4,5],均有(t2-2t-3)∈[5,12]
∴k≥-
1
2
≥(cg(t))max,恒成立.∴c<0,-
1
2
≥5c,
∴c≤-
1
10
點(diǎn)評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力,以及計算能力,解答的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)工具的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當(dāng)a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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(-∞,-2)
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2x
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