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已知二次函數f(x)=x2-mx+m-1(m∈R).
(1)函數在區(qū)間[-1,1]上的最小值記為g(m),求g(m)的解析式;
(2)求(1)中g(m)的最大值;
(3)若函數y=|f(x)|在[2,4]上是單調增函數,求實數m的取值范圍.
(1)f(x)=x2-mx+m-1=(x-
m
2
)2-
m2
4
+m-1
,對稱軸為x=
m
2

①若
m
2
<-1,即m<-2
,此時函數f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調遞增,所以最小值g(m)=f(-1)=2m.
②若-1≤
m
2
≤1,即-2≤m≤2
,此時當x=
m
2
時,函數f(x)最小,最小值g(m)=f(
m
2
)=-
m2
4
+m-1

③若
m
2
>1,即m>2
,此時函數f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調遞減,所以最小值g(m)=f(1)=0.
綜上g(m)=
2m,m<-2
-
m2
4
+m-1,-2≤m≤2
0,m≥2

(2)由(1)知g(m)=
2m,m<-2
-
m2
4
+m-1,-2≤m≤2
0,m≥2

當m<-2時,g(m)=2m<-4,
當-2≤m≤2,g(m)=-
m2
4
+m-1
=-
1
4
(m2-4m)-1=-
1
4
(m-2)2-2
≤-2
當m≥2時,g(m)=0.
綜上g(m)的最大值為0.
(3)要使函數y=|f(x)|在[2,4]上是單調增函數,則f(x)在[2,4]上單調遞增且恒非負,或單調遞減且恒非正,
m
2
≤2
f(2)≥0
m
2
≥4
f(2)≤0
,
所以
m≤4
f(2)=3-m≥0
m≥8
f(2)=3-m≤0
,
解得m≤3或m≥8.
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