Question

已知函數(shù)，．
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若對任意的兩個實數(shù)滿足，總存在，使得成立，證明：．

Answer 1

(1) 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，
(2)    (3)構(gòu)造函數(shù)證明.

解析試題分析：(1)當時，函數(shù)，則．
當時，，當時，1，
則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，．
(2)恒成立，即恒成立，整理得恒成立．
設(shè)，則，令，得．當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當時，取得最大值1，因而．
(3)，．
因為對任意的總存在，使得成立，
所以，即，
即
．
設(shè)，其中，則，因而在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞增，，又．所以，即．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導數(shù)的應用，不等式的綜合應用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．