Question

【題目】在正方體中，、分別在和上（異于端點(diǎn)），則過(guò)三點(diǎn)、、的平面被正方體截得的圖形不可能是（ ）

A.正方形B.不是正方形的菱形

C.不是正方形的矩形D.梯形

Answer 1

【答案】A

【解析】

作出圖形，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)，利用勾股定理可判斷A選項(xiàng)中的截面圖形不可能，結(jié)合A選項(xiàng)的推導(dǎo)可判斷B選項(xiàng)中的截面圖形可能，取可判斷C選項(xiàng)中圖形可能，取可判斷D選項(xiàng)中截面圖形可能.綜合可得出結(jié)論.

對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，如下圖所示：

設(shè)，平面平面，平面平面，平面平面，，同理，

若截面為正方形，則，

過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知，，則，

，，，

由勾股定理得，即，解得，

所以，截面不可能是正方形；

對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，截面是不為正方形的菱形；

對(duì)于C選項(xiàng)，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，由于平面，，平面，平面，，

平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得，

，，，

此時(shí)，四邊形為矩形但不是正方形；

對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，

平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理可得，

當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，易知且，

此時(shí)，截面圖形為梯形.

故選：A.