Question

在△ABC中，∠A=30°，D是邊BC上任意一點(diǎn)（D與B，C不重合），且|

AB

|²=|

AD

|²+

BD

•

DC

，則∠B等于（　�。�

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

分析：作 AO⊥BC，垂足為 O，以 BC 所在直線為 x 軸，以 OA 所在直線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè) A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．由|

AB

|²=|

AD

|²+

BD

•

DC

能導(dǎo)出△ABC 為等腰三角形，AB=AC，BD=CD，再由∠A=30°，能求出∠B．

解答：解：作 AO⊥BC，垂足為 O，
以 BC 所在直線為 x 軸，以 OA 所在直線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè) A（0，a），B（b，0），C （c，0），D（d，0）．
∵|

AB

|²=|

AD

|²+

BD

•

DC

，
∴由距離公式可得 b²+a²=d²+a²+（d-b）（c-d），
即（b-d）（b+d）=（d-b）（d-c），
又b-d≠0，
兩邊除以b-d，
得 b+d=d-c，
即b=-c，
∴點(diǎn)B（b，0）和C（c，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴△ABC 為等腰三角形．
∴AB=AC，BD=CD，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°-

1

2

×30°=75°．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意距離公式的靈活運(yùn)用．