已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為-
3
4
．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（x-1）2+y2=r2（0＜r＜
3
2
）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R．求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），KAMKBM=-
3
4
，∴
y
x+2
•
y
x-2
=-
3
4
．
整理得點(diǎn)M所在的曲線C的方程：
x2
4
+
y2
3
=1（x≠±2）．
（Ⅱ）把x=1代入曲線C的方程，可得
1
4
+
y2
3
=1，∵y＞0，解得y=
3
2
，∴點(diǎn)P（1，
3
2
）．
∵圓（x-1）2+y2=r2的圓心為（1，0），
∴直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)．
設(shè)直線PE的方程為y=k(x-1)+
3
2
，
聯(lián)立
y=k(x-1)+
3
2
x2
4
+
y2
3
=1
，化為
（4k2+3）x2+（12k-8k2）x+（4k2-12k-3）=0，
由于x=1是方程的一個(gè)解，
∴方程的另一解為xQ=
4k2-12k-3
4k2+3
．
同理xR=
4k2+12k-3
4k2+3
．
故直線RQ的斜率為kRQ=
yR-yQ
xR-xQ
=
-k(xR-1)+
3
2
-k(xQ-1)-
3
2
xR-xQ
=
-k(
8k2-6
4k2+3
-2)
24k
4k2+3
=
1
2
．
把直線RQ的方程y=
1
2
x+t代入橢圓方程，消去y整理得x2+tx+t2-3=0．
∴|RQ|=
[1+(
1
2
)2][t2-4(t2-3)]
=
15
2
4-t2
．
原點(diǎn)O到直線RQ的距離為d=
|2t|
5
．
∴S△ORQ=
1
2
•
15
2
•
4-t2
•
|2t|
5
=
3
2
t2(4-t2)
≤
3
2
•
t2+(4-t2)
2
=
3
．當(dāng)且僅當(dāng)t=±
2
時(shí)取等號(hào)．
∴△OQR的面積的最大值為
3
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，EP交圓于E、C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F.
（1）求證：AB為圓的直徑；
（2）若AC=BD，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．原點(diǎn)到直線A2B2的距離為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)且斜率為
1
2
的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點(diǎn)，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
2
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
（Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為
π
8
時(shí)，求PA所在直線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C1：x2+y2=
4
5
，直線l：y=x+m（m＞0）與圓C1相切，且交橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1兩點(diǎn)，c是橢圓C2的半焦距，c=
3
b．
（1）求m的值；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若
OA1
⊥
OB1
，求橢圓C2的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)橢圓C2的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，動(dòng)點(diǎn)S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直線AS，BS與直線x=
34
15
分別交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，A1、A2、F1、F2分別是雙曲線C：
x2
9
-
y2
16
=1的左、右頂點(diǎn)和左、右焦點(diǎn)，M（x0、y0）是雙曲線C上任意一點(diǎn)，直線MA2與動(dòng)直線l：x=
9
x0
相交于點(diǎn)N．
（1）求點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（2）點(diǎn)B為曲線E上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接F1B交曲線E于另一點(diǎn)D，記四邊形A1A2BD對(duì)角線的交點(diǎn)為G，證明：點(diǎn)G在定直線上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線Σ1：y=
1
4
x2的焦點(diǎn)F在橢圓Σ2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直線l與拋物線Σ1相切于點(diǎn)P（2，1），并經(jīng)過橢圓Σ2的焦點(diǎn)F2．
（1）求橢圓Σ2的方程；
（2）設(shè)橢圓Σ2的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1，試判斷直線FF1與l的位置關(guān)系．若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若平行，求兩直線之間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過圓外一點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），再作割線分別交圓于、， 若，
AC=8，BC=9，則AB=________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，是圓的切線，切點(diǎn)為，交圓于、兩點(diǎn)，且，，則的長(zhǎng)為             .

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同步練習(xí)冊(cè)答案