Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，|F1F2|=4

2

，離心率e=

2 2

3

．過直線l：x=

a2

c

上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x²+y²=r²上一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為：x₀x+y₀y=r²”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)（2

2

，0）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

Answer 1

分析：（1）由過圓上一點(diǎn)的切線方程，我們不難類比推斷出過橢圓上一點(diǎn)的切線方程．
（2）由（1）的結(jié)論，我們可以設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出切線方程，又由M為直線l：x=

a2

c

上任意一點(diǎn)，故可知M為兩條切線與l的公共交點(diǎn)，消參后即得答案．
（3）由（2）中結(jié)論，我們可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)l的方程我們可以計(jì)算出AB邊上的高，再由弦長(zhǎng)公式計(jì)算出AB的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式即可．

解答：解：（1）類比過圓上一點(diǎn)的切線方程，可合情推理：
過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為

x0

a2

x+

y0

b2

y=1．
（2）由|F1F2|=4

2

，離心率e=

2 2

3

得c=2

2

，a=3∴b=1
∴橢圓C的方程為：

x2

9

+y2=1
l的方程為：x=

9 2

4

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M的縱坐標(biāo)為t，即M(

9 2

4

，t)，
由（1）的結(jié)論
∴MA的方程為

x1x

9

+y1y=1
又其過M(

9 2

4

，t)點(diǎn)，
∴

2

x_+4ty1=4
同理有

2

x_+4ty2=4
∴點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線

2

x+4ty=4上；
當(dāng)x=2

2

，y=0時(shí)，方程

2

x+4ty=4恒成立，
∴直線AB過定點(diǎn)(2

2

，0)
（3）t=1∴

2 x+4y=4 x2 9 +y2=1

消去y得17x2-36

2

x=0，
∴x1+x2=

36 2

17

，x₁x₂=0，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

=

54

17

dM-AB=

3 2

4

∴S△ABM=

1

2

|AB|dM-AB=

81 2

68

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合的考查了橢圓與直線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，本題的切入點(diǎn)是由類比思想探究出的過橢圓上一點(diǎn)的切線方程，運(yùn)用設(shè)而不求的方法探究出切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足的共同性質(zhì)，從而得到兩切點(diǎn)確定的直線系的方程，并由直線系方程得到結(jié)論直線過定點(diǎn)；已知三角形一頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)邊所在的直線，我們可以代入點(diǎn)到直線距離公式求出該邊上三角形的高，再由邊長(zhǎng)不難得到面積．