【題目】已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）設(shè)，，注意到在上單增，再利用零點(diǎn)存在性定理即可解決；

（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在恒成立，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論的最值即可.

（1）由已知，，所以，

設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，，且在上圖象連續(xù)

不斷.所以在上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在區(qū)間上存在唯一的極小

值點(diǎn)，即在區(qū)間上存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）設(shè)，，，

∴在單調(diào)遞增，，

即，從而，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，

∴在上恒成立，

令，

∵，

∴，

在上單調(diào)遞減，，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，符合題意.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以一定存在，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

與題意不符，舍去.

綜上，的取值范圍是

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，新型冠狀病毒（2019﹣nCoV）疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國人的心，危難時(shí)刻全國人民眾志成城．共克時(shí)艱，為疫區(qū)助力．我國S省Q市共100家商家及個(gè)人為緩解湖北省抗疫消毒物資壓力，募捐價(jià)值百萬的物資對(duì)口輸送湖北省H市．

（1）現(xiàn)對(duì)100家商家抽取5家，其中2家來自A地，3家來自B地，從選中的這5家中，選出3家進(jìn)行調(diào)研．求選出3家中1家來自A地，2家來自B地的概率．

（2）該市一商家考慮增加先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)投入，該商家欲預(yù)測先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)投入為49千元的月產(chǎn)增量．現(xiàn)用以往的先進(jìn)技術(shù)投入xi（千元）與月產(chǎn)增量yi（千件）（i＝1，2，3，…，8）的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近，且：，，，，，其中，，，根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x回歸方程，并預(yù)測先進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)投入為49千元時(shí)的月產(chǎn)增量．

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1，v1）（u2，v2），其回歸直線v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）記，若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的普通方程為：，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，正方形的頂點(diǎn)都在上，且逆時(shí)針依次排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為

（1）寫出曲線的參數(shù)方程，及點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，求：的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在中，角的對(duì)邊分別為,且.

（1）求的值；

（2）若,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某購物網(wǎng)站開展一種商品的預(yù)約購買，規(guī)定每個(gè)手機(jī)號(hào)只能預(yù)約一次，預(yù)約后通過搖號(hào)的方式?jīng)Q定能否成功購買到該商品.規(guī)則如下：（�。⿹u號(hào)的初始中簽率為；（ⅱ）當(dāng)中簽率不超過時(shí)，可借助“好友助力”活動(dòng)增加中簽率，每邀請(qǐng)到一位好友參與“好友助力”活動(dòng)可使中簽率增加.為了使中簽率超過，則至少需要邀請(qǐng)________位好友參與到“好友助力”活動(dòng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對(duì)角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列推理正確的是（ ）

①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.

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