Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足條件：①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x） ②函數(shù)f（x）的圖象與y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=2f（x）-18x+q+3是否存在常數(shù)t （t≥0），當x∈[t，10]時，g（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t，若存在，請求出t值，若不存在，請說明理由（注：[a，b]的區(qū)間長度為b-a）．

Answer 1

分析：（1）①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），反映了函數(shù)的對稱性； ②函數(shù)f（x）的圖象與y=x相切，等價于ax²+（2a-1）x=0的兩根相等，從而可求f（x）的解析式；
（2）g（x）=x²-16x+q+3．由于0≤t＜10，g（x）在區(qū)間[0，8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8，10]上是增函數(shù)，且其圖象的對稱軸是x=8．故可分類討論：①當0≤t≤6時，在區(qū)間[t，10]上，g（t）最大，g（8）最��；②當6＜t≤8時，在區(qū)間[t，10]上，g（10）最大，g（8）最��；③當8＜t＜10時，在區(qū)間[t，10]上，g（10）最大，g（t）最小，故可求常數(shù)t的值．

解答：解：（1）由①，a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
∴（2x-6）（-2a+b）=0，
∴b=2a  
由②，ax²+（2a-1）x=0的兩根相等，
∴a=

1

2

，b=1．
∴f（x）=

1

2

x²+x．
（2）g（x）=x²-16x+q+3．
∵0≤t＜10，g（x）在區(qū)間[0，8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8，10]上是增函數(shù)，且其圖象的對稱軸是x=8．
①當0≤t≤6時，在區(qū)間[t，10]上，f（t）最大，f（8）最小，
∴g（t）-g（8）=12-t，即t²-15t+52=0，
解得t=

15± 17

2

，
∴t=

15- 17

2

；
②當6＜t≤8時，在區(qū)間[t，10]上，g（10）最大，g（8）最小，
∴g（10）-g（8）=12-t，解得t=8；
③當8＜t＜10時，在區(qū)間[t，10]上，g（10）最大，g（t）最小，
∴g（10）-g（t）=12-t，即t²-17t+72=0，
解得t=8（舍去）或t=9．
綜上可知，存在常數(shù)t為

15- 17

2

，8，9，滿足題意

點評：本題以函數(shù)的性質為載體，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，有一定的綜合性．