Question

已知拋物線的焦點(diǎn)F在y軸上，拋物線上一點(diǎn)A(a，4)到準(zhǔn)線的距離是5，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，過M、N兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點(diǎn)為T，
(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)求的值；
( Ⅲ)求證：是和的等比中項(xiàng)。

Answer 1

(Ⅰ)解：由題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py(p≠0)，
因?yàn)辄c(diǎn)A(a，4)在拋物線上，所以p＞0，
又點(diǎn)A(a，4)到拋物線準(zhǔn)線的距離是5，
所以，+4=5，可得p=2，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y。
(Ⅱ)解：點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則F(0，1)，
依題意可知直線MN不與x軸垂直，
所以設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，
因?yàn)镸N過焦點(diǎn)F，所以判別式大于0，
設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
 ，
由于，所以，，
切線MT的方程為，   ①
切線NT的方程為，    ②
由①，②得，
則，
所以，。
 (Ⅲ)證明：，
由拋物線的定義，知，
則
，
所以，，
即是和的等比中項(xiàng)。