Question

【題目】【2017南通一模19】已知函數(shù)。

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)又兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，

令=0，得，

當(dāng)時(shí)，<0，當(dāng)時(shí)，>0，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，有最小值；

（2）由，得：

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，

又當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，9分

由，得：

令，因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，

當(dāng)時(shí)，<0，<0，當(dāng)時(shí)，>0，>0，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

要使得函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)的最小值，

即，又因?yàn)?/span>，

消去得：，

又因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且，所以>1，

則，因?yàn)?/span>，所以，

所以2在上單調(diào)遞增，所以，13分

以下驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，，所以，

因?yàn)?/span>，且，

所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>（因?yàn)?/span>），且，

所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)。

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是。1