Question

已知函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x-1成軸對稱圖形．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及定義域；
（2）若三個(gè)正數(shù)m、n、t依次成等比數(shù)列，證明f（m）+f（t）≥2f（n）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用軸對稱來解，先在y=f（x）的圖象上取點(diǎn)P（x，y），設(shè)P點(diǎn)關(guān)于直線y=x-1對稱的點(diǎn)為Q（m，n），根據(jù)一垂直二平分，表示出m，n再代入f（x）即可．
（2）由三個(gè)正數(shù)m、n、t依次成等比數(shù)列得到n²=mt≥=（n+1）²，再將f（m）+f（t）≥2f（n）．通過函數(shù)值轉(zhuǎn)化證明．
解答：（1）解：在y=f（x）的圖象上取點(diǎn)P（x，y），
設(shè)P點(diǎn)關(guān)于直線y=x-1對稱的點(diǎn)為Q（m，n），
則⇒
∵Q在y=g（x）的圖象上，
∴⇒y=2log₂（x+a）+1．
∵y=f（x）的圖象過點(diǎn)（0，1），
∴1=2log₂a+1⇒a=1．
故f（x）=2log₂（x+1）+1，定義域?yàn)椋?1，+∞）．
（2）證明：∵n²=mt⇒（m+1）（t+1）
=mt+m+t+1
≥
=（n+1）²，
∴f（m）+f（t）
=2log₂（m+1）+1+2log₂（t+1）+1
=2log₂（m+1）（t+1）+2
≥2log₂（n+1）²+2
=2[2log₂（n+1）+1=2f（n）．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)圖象的對稱性求解析式，等比數(shù)列中項(xiàng)公式及放縮法證明不等式等問題．