Question

下面有四個(gè)命題：
（1）各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；
（2）三條側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐；
（3）底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；
（4）頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心的棱錐必是正棱錐．
其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面多邊形的中心，依次分析4個(gè)命題：對(duì)于（1），存在反例，可得（1）錯(cuò)誤，對(duì)于（2）不符合底面必須是正三角形，也錯(cuò)誤；對(duì)于（3）不符合三條側(cè)棱長(zhǎng)相等，錯(cuò)誤，對(duì)于（4），可得該棱錐的底面多邊形的底面為正多邊形，易得頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的中心，符合棱錐的定義，故（4）正確，綜合可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，結(jié)合正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，依次分析4個(gè)命題可得：
對(duì)于（1）、如圖：三棱錐A-BCD中，AB=AC=b，AD=CD=BC=BD=a，其每個(gè)側(cè)面是等腰三角形，但不是正三棱錐，故（1）錯(cuò)誤；
對(duì)于（2）、對(duì)于正三棱錐，底面必須是正三角形，故（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3）、對(duì)于正三棱錐，三條側(cè)棱長(zhǎng)必須相等，故（3）錯(cuò)誤，
對(duì)于（4）、該棱錐的底面多邊形的內(nèi)心與外心重合，則其底面為正多邊形，則其內(nèi)心（外心）為底面多邊形的中心，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的中心，符合棱錐的定義，故（4）正確．
只有一個(gè)命題正確；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷、涉及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握三棱錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．