Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到A₁點，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（1）求證：BC⊥A₁D；
（2）求證：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）求三棱錐A₁-BCD的體積．

Answer 1

分析：（1）由A₁在平面BCD上的射影O在CD上得A₁O⊥平面BCD?BC⊥A₁O；又BC⊥CO?BC⊥平面A₁CD?BC⊥A₁D；
（2）先由ABCD為矩形?A₁D⊥A₁B，再由（Ⅰ）知A₁D⊥BC?A₁D⊥平面A₁BC，即可得到平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（3）把求三棱錐A₁-BCD的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B-A₁CD的體積即可．

解答：證明：（1）連接A₁O，
∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，又BC?平面BCD
∴BC⊥A₁O
又BC⊥CO，A₁O∩CO=O，
∴BC⊥平面A₁CD，又A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D

（2）∵ABCD為矩形，∴A₁D⊥A₁B由（Ⅰ）知A₁D⊥BC，A₁B∩BC=B
∴A₁D⊥平面A₁BC，又A₁D?平面A₁BD
∴平面A₁BC⊥平面A₁BD
（3）∵A₁D⊥平面A₁BC，
∴A₁D⊥A₁C．
∵A₁D=6，CD=10，∴A₁C=8，
∴V A1-BCD=V B-A1CD=

1

3

•(

1

2

•6•8)•6=48．
故所求三棱錐A₁-BCD的體積為：48．

點評：本題是對線線垂直以及面面垂直和三棱錐的體積計算的綜合考查．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直