Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（Ⅰ）求g（t）的表達(dá)式；
（Ⅱ）討論g（t）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

分析：（ I）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得g（t）的解析式．
（ II）由于g′（t）=3（2t+1）（2t-1），由此求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間求得函數(shù)的極值．

解答：解：（ I）由于f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-2t•sinx+t²+4t³-3t+3
=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由于（sinx-t）²≥0，|t|≤1，故當(dāng)sinx=t時(shí)，f（x）取得其最小值g（t），即g（t）=4t³-3t+3．   …（6分）
（ II）我們有g(shù)′（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1）．列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值g(- 1 2 )	↘	極小值g( 1 2 )	↗

由此可見(jiàn)，g（t）在區(qū)間(-1，-

1

2

)和(

1

2

，1)單調(diào)增加，在區(qū)間(-

1

2

，

1

2

)單調(diào)減小，
極小值為g(

1

2

)=2，極大值為g(-

1

2

)=4．   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求極值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．