Question

設(shè)a與α分別為空間中的直線與平面，那么下列三個(gè)判斷中（ ）
（1）過a必有唯一平面β與平面α垂直
（2）平面α內(nèi)必存在直線b與直線a垂直
（3）若直線a上有兩點(diǎn)到平面α的距離為1，則a∥α，
其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3個(gè)
B．2個(gè)
C．1個(gè)
D．0個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)面面垂直的判定定理，可舉出反例得到（1）不正確；根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，可得（2）是真命題；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和平面的斜線在平面內(nèi)射影的性質(zhì)，可得（3）不正確．由此可得正確答案．
解答：解：對于（1），當(dāng)直線a與平面α垂直時(shí)，經(jīng)過a的任何一個(gè)平面都能與平面α垂直，
因此過a有無數(shù)個(gè)平面β與平面α垂直，故（1）不正確；
對于（2），分兩種情況加以分析：
①當(dāng)a⊥α?xí)r，平面α內(nèi)任意直線b都與直線a垂直；
②當(dāng)a與α不垂直時(shí)，設(shè)a在內(nèi)的射影為a'，則在α內(nèi)與a'垂直的直線b必定與直線a垂直．
綜上所述，平面α內(nèi)必存在直線b與直線a垂直，故（2）正確；
對于（3），若直線l在平面α外，其上兩點(diǎn)A、B滿足AB的中點(diǎn)O在平面α內(nèi)，
則A、B到平面α的距離相等，可調(diào)整A、B位置使這個(gè)距離等于1，
此時(shí)直線a上有兩點(diǎn)到平面α的距離為1，但直線a與平面α相交，故（3）不成立．
綜上所述，正確命題只有（2）一個(gè)．
故選C
點(diǎn)評：本題給出關(guān)于空間垂直和平行的命題，判斷它們的真假，著重考查了空間中直線與平面垂直和平行等位置關(guān)系的知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．