Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)的直線交于另一點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，且有，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，為正三角形.

（1）求的方程；

（2）若直線，且和相切于點(diǎn)，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)為，由，可得，從而，再由點(diǎn)橫坐標(biāo)與中點(diǎn)橫坐標(biāo)相同可求得．

（2）設(shè)，可得，由，可設(shè)直線的方程為，由它與拋物線相切可求得，也即得出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程，觀察得其過(guò)定點(diǎn)．注意分類，即按直線斜率是否存在分類討論．

（1）拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵，∴，解得，或（舍），

∵，∴，解得，

∴拋物線方程為.

（2）由（1）知，，設(shè)，，

∵，則，由得，即，

∴直線的斜率，∵，故設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，

∵直線與拋物線相切，∴，，

設(shè)，則，，

當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，

∵，∴直線的方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，直線方程為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，

綜上，直線過(guò)定點(diǎn).